Lecture02

lecture 02: Continuous Charge and Gauss' Law

均匀带电圆环产生的电场

设圆环半径为 \(R\)，电荷密度为 \(\lambda\)，则圆环中心轴线上距离圆环距离为 \(z\) 处的电场为 $$ E_z=\frac{qz}{4\pi\epsilon_0(z^2+R^2)^{3/2}} $$ 其中 \(q=\lambda\cdot 2\pi R\)
当 \(z\gg R\) 时，还可以近似为 $$ E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{z^2} $$ 这意味着当距离足够远时，圆环也可以近似看成点电荷

均匀带电圆盘产生的电场

设圆盘半径为 \(R\)，电荷密度为 \(\sigma\)，则圆盘中心轴线上距离圆盘距离为 \(z\) 处的电场为：
把圆盘看成一系列半径从小到大圆环的积分 $$ \begin{align} dE_z&=\frac{\sigma(2\pi rdr)z}{4\pi\epsilon_0(z^2+r^2)^{3/2}}\\ E_z=\int_0^R dE_z&=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[1-\frac{z}{(z^2+R^2)^{1/2}}\right] \end{align} $$ 这个还挺好积的，就是幂函数积分

Gauss 定理

电通量

电通量描述了穿过一个曲面的电场线的数量，定义为电场与面积元点积的积分： $$ \Phi=\int\vec{E}\cdot d\vec{A} $$

高斯定理（真空中）

高斯定理描述了穿过高斯面的净电通量与曲面所包含的电荷的关系
取闭合曲面作为高斯曲面，曲面上面积元的方向为向外，则高斯定理为： $$ \epsilon_0\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=q_{enc} $$ 即 $$ \epsilon_0 \Phi = q_{enc} $$

与库仑定律的关系

库仑定律是高斯定理的特例，即当高斯面是一个半径为 \(r\) 的球面，所包含电荷为位于球心的点电荷时，由于对称性，高斯面上电场强度大小处处相等，且方向都垂直于高斯面 $$ \begin{align} q &= \epsilon_0 \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \epsilon_0 E \oint dA\\ E &= \frac{q}{\epsilon_0} \frac{1}{4\pi r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2} \end{align} $$ 所以库仑定律中的 \(4\pi\) 仅仅是一个几何系数，与 \(\epsilon_0\) 无关

高斯定理的应用

均匀带电球体内部的电场

在带电球体内部距球心距离为 \(r\) 处，取一个半径为 \(r\) 的球面作为高斯面

• 由于电荷均匀分布，所以 \(q'=q\left(r/R\right)^3\)
• 且高斯面外电荷产生的电场为 0

所以 $$ \vec{E}=\left(\frac{q}{4\pi\epsilon_0R^3}\right)\vec{r} $$ 与 \(r\) 成正比

无限大均匀带电平面

在两侧都会产生匀强电场 $$ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} $$ 即 均匀带电圆盘产生的电场 在 \(R\to\infty\) 时的极限
常用于近似有限带电绝缘薄板产生的电场

无限长带电直线

设电荷线密度为 \(\lambda\) ，取半径为 \(r\) 的圆柱面作为高斯面 $$ E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r} $$ 方向与电性有关
常用于近似有限带电直线产生的电场