Lecture06

lecture 06: Resistance and Capacitance

电流

定义为单位时间内通过某一截面的电荷量 $$ I=\frac{dq}{dt} $$ 同一条导线上电流处处相等，这是因为电荷守恒。

*别看他这么定义，安培(A)才是国际单位制的基本单位（虽然电流定义好像改了）

电流是标量

• 我们所说的电流方向只是指示电荷运动的方向，但电流代表的是一种强度
• 电流的方向规定为正电荷移动的方向

电流密度

描述了一块曲面上电流的分布情况 $$ i=\int\vec{J}\cdot d\vec{A} $$ 因为曲面元有方向，所以电流密度也有了方向

漂移速度

电子原先在导体中作无规则运动，净速度为 0. 当施加外电场产生恒定电流时，他们仍然继续作无规则运动，但在此基础上叠加了一个跟随电场漂移的速度。相比于无规则运动，漂移速度要小得多

对于图中的导线，自由运动的总电荷为 $$ q=(nAL)e $$ 电流 $$ i=\frac{q}{\Delta t}=nAev_d,\quad or\quad \vec{J=ne\vec{v}_d} $$ 要估算 \(v_d\)，首先要了解电阻

电阻

$$ \begin{align} R&=V/i\\ &=\rho L/A \end{align} $$ 其中 \(\rho\) 是电阻率，\(L\) 是导线的长度，\(A\) 是截面积。电阻的单位是欧姆（\(\Omega\)）.

• 电阻率与电导率互为倒数，\(\rho=1/\sigma=E/J\)，这个式子将电阻率、电导率、电场强度和电流密度联系了起来。
• 电阻是一个物体的属性，而电阻率仅是一种材料的属性

回到漂移速度

考虑金属材料中的自由电子模型，电子有平均自由时间 \(\tau\) (mean free time) 和平均自由程，在这段时间内电子可以不受约束在电场力作用下加速。之后电子与原子核碰撞，恢复无规则运动，重新开始加速。

应用经典力学推导： $$ \begin{align} \vec{a}&=\frac{\vec{F}}{m}=-\frac{e\vec{E}}{m}\\ \vec{v}_d&=\vec{a}\tau=-\frac{e\vec{E}}{m}\tau \end{align} $$ 再结合 \(\vec{J}\) 与 \(v_d\)，\(\vec{J}\) 与 \(\vec{E}\) 的关系 $$ \begin{cases} \vec{J}=n(-e)\vec{v}_d\\ \vec{E}=\rho\vec{J}\\ \vec{v}_d=-\frac{e\vec{E}}{m}\tau \end{cases} $$ 得到 $$ \rho=\frac{m}{ne^2\tau} $$ 对于通常情况下的金属，\(n\) 和 \(\tau\) 都可以看作常数，因此欧姆定律成立。这样，利用欧姆定律测出电阻率，进而可以估计出 \(\tau\) 和 \(v_d\).

利用热学知识，可以估算出电子在室温下无规则运动的平均速度 $$ \frac{1}{2}mv_{th}^2=\frac{3}{2}k_B T $$

将两者进行比较，我们发现电子的漂移速度确实非常小。

连续性方程

在上面的推导中，我们其实已经默认了（局部的）电荷守恒定律。也就是说，如果一块区域中的总电荷量发生了改变，那么一定有等量的电荷通过区域的边界曲面，流入或流出这块区域。 $$ \frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla\cdot\vec{J} $$

电容

电容器是存储电荷的器件。电容表示了电容器存储电荷的能力 $$ C=\frac{q}{V} $$

平行板电容器

忽视边缘效应，可以把平行板之间的电场看作匀强电场 利用高斯定理，\(q=\epsilon_0EA\) $$ C=\frac{q}{V}=\frac{q}{Ed}=\frac{\epsilon_0A}{d} $$

柱形电容器

假设圆柱长度 L 远大于半径，忽视边缘效应 取不同半径的圆柱面作为高斯面，可以得到柱形电容器内的电场分布 $$ \begin{align} q&=\epsilon_0E(2\pi rL)\\ V&=\int_a^bEdr=\frac{q}{2\pi\epsilon_0L}\int_a^b\frac{dr}{r}\\ C&=\frac{q}{V}=2\pi\epsilon_0\frac{L}{\ln(b/a)} \end{align} $$