Lecture07
lecture 07: DC Circuits
电容器存储的能量
RC 电路
根据能量守恒，电容器增加的能量来自于电动势的做功减去电阻的发热 $$ \frac{dU}{dt}=\frac{q}{C}\frac{dq}{dt}=i\epsilon-i^2R $$ \(i=dq/dt\)，所以 $$ R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\epsilon $$ 该式也可根据欧姆定律得到
然后解一下小学二年级就学过的微分方程，通过变量分离，可以解出 $$ q=C\epsilon(1-e^{-\frac{t}{RC}}) $$ 其中，\(\tau=RC\) 被称作充电时间常数 $$ i=\frac{dq}{dt}=\left(\frac{\epsilon}{R}\right)e^{-t/\tau} $$
电场的能量密度
考虑平行板电容器，其中 \(C=\epsilon_0 A/d\)， \(V=Ed\)，则电容储存的能量为 $$ U=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2(Ad) $$ 定义能量密度 \(u\)，即极板间单位体积所包含的电势能，那么在这里 \(u\) 就是定值 $$ u=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2 $$ 这个结论对任意电场成立。也就是说，平行板电容器存储的电势能可以看作是板间电场所蕴含的能量。
电介质
电介质可以是任何绝缘材料，可以用于填充平行板电容器中的空隙，从而增大电容。
对于静电荷，电介质虽然不导电，但也会感应出感应电荷，从而削减电场强度，进而降低极板间的电势差。
相对介电常数
将电介质插入平行板导致电容增大的系数 \(\kappa\)，就被称为该材料的相对介电常数。任意材料 \(\kappa\ge1\).
对于任意静电学方程，如果空间被某种材料所填充而不是真空，那么真空介电常数 \(\epsilon_0\) 就要修正为 \(\epsilon=\kappa\epsilon_0\)，称为材料的介电常数
例如，高斯定理修正为 $$ \epsilon_0\oint \kappa\vec{E}\cdot d\vec{A}=q $$