Lecture08

lecture 08: The Magnetic Field

洛伦兹力

仅速度的垂直分量有效 $$ \vec{F_B}=q\vec{v}\times\vec{B} $$ 同时，F 也始终垂直于 v 和 B。 注意：此处的 q 是带正负号的，如果要用绝对值，则要选取电流的方向

磁场

磁场线从 N 极出发，于 S 极终止，且磁场线不交叉。

安培力

洛伦兹力的宏观形式。 $$ \vec{F}=i\vec{L}\times\vec{B} $$ 其中 L 的方向是电流的方向

在实际中，常用安培力的微分形式来定义磁场 $$ d\vec{F}=id\vec{L}\times\vec{B} $$

线圈受到的力矩

$$ \vec{\tau}=i\vec{A}\times\vec{B} $$ 其中 \(\vec{A}=\vec{L_2}\times\vec{L_3}=ab\hat{n}\)，代表线圈的面积向量

于是，携带电流的线圈在磁场中倾向于旋转到与磁场平行的方向，就像条形磁铁一样。可以将线圈绕成很多匝，从而增加力矩： $$ \vec{\tau}=Ni\vec{A}\times\vec{B}=\vec{\mu}\times\vec{B} $$ 其中 \(\vec{\mu}=Ni\vec{A}\) 是线圈的磁矩

回忆一下电场中的电偶极矩受到的力矩，\(\vec{p}=q\vec{d}\)，\(\vec{\tau}=\vec{p}\times\vec{E}\)

vector triple product 向量三重积

\[ \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C} $$ $$ (\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}=(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\vec{B}\cdot\vec{C})\vec{A} \]