Lecture09

lecture 09: Magnetic Field of a Current

静止的电荷产生恒定电场，属于静电学。
与之相应的，恒定的电流产生恒定的磁场，称作静磁学。

Biot-Savart Law

与库仑定律类似： $$ d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{id\vec{s}\times\vec{r}}{r^3} $$ 其中，\(\vec{r}\) 是从电流元到观察点的距离，\(id\vec{s}\) 是电流元，\(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ T\cdot m/A\) 称作真空磁导率。

无限长直导线周围的磁场

\[ \begin{align} d\vec{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{i\,d\vec{s}\times\vec{r}}{r^3}\\\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{ids\cdot R}{r^3}\hat{n}\\\\ \end{align} $$ 省略一些计算 $$ B = \frac{\mu_0 i}{2\pi R} \]

安培环路定律

\[ \oint\vec{B}\cdot d\vec{s}=\mu_0 i_{enc} \]

螺线管中的磁场

我们假设螺线管的半径远小于螺线管的长度，且线圈缠绕紧密，那么螺线管中的磁场恒定，且螺线管外磁场为 0. 根据安培环路定律： $$ \begin{align} Bh &= \mu_0inh\\ B &= \mu_0in \end{align} $$ 其中，\(n\) 是螺线管单位长度上的匝数

磁场的旋度

应用 Stokes 定理（见 lec4），可以得到 $$ \int_S(\nabla\times\vec{B})\cdot\vec{A}=\oint\vec{B}\cdot d\vec{s}=\mu_0i_{enc}=\mu_0\int_S\vec{J}\cdot d\vec{A} $$ $$ \nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J} $$ 这是安培环路定律的微分形式