Lecture10

lecture 10: Magnetic Properties of Materials

磁偶极子

磁偶极可以有多种形式，例如：

磁铁
带电流的线圈
旋转的带电体
亚原子粒子

我们暂时将磁偶极的产生建模为电流环，从而方便解释磁现象。

磁偶极矩

定义带电流的线圈的磁偶极矩为： $$ \vec{\mu}=Ni\vec{A} $$ 其中 $N$ 是线圈匝数，$i$ 是电流，$\vec{A}$ 是线圈的面积向量。

磁偶极子在磁场中会受到力矩，$\vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}$. 设 $\theta$ 是磁偶极矩与磁场之间的夹角，则 $$ \vec{\tau}=-\mu B\sin\theta=-\frac{\partial}{\partial\theta}(-\mu B\cos\theta) $$ 因此，磁偶极矩在磁场中的能量为 $$ U_B=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}=-\mu B\cos\theta $$

磁偶极子产生的磁场

考虑一段弧形导线在其圆心处产生的磁场： $$ \begin{align} d\vec{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{id\vec{s}\times\hat{r}}{R^2}\\ &=\frac{\mu_0i\hat{B}}{4\pi R}d\phi\\ \end{align} $$ 于是 $$ B = \frac{\mu_0i\phi}{4\pi R} $$

对于一个圆环，其磁偶极矩为 $\mu = i\pi R^2$，因此其圆心处的磁场 $$ B=\frac{\mu_0i}{2R}=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{\mu}{R^3} $$ 可以猜想，与电偶极子类似，磁偶极子周围的磁场也按三次方衰减。我们计算中心轴线上的磁场来说明。

回忆一下，当距离足够远时，电偶极子在中心轴线上产生的电场可以近似为 $$ \vec{E}=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{\vec{p}}{z^3} $$ 可以证明，磁偶极子中心轴线上的磁场为 $$ B(z)=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{\mu}{(R^2+z^2)^{3/2}} $$ 因而当 $z\gg R$ 时，近似为 $\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{\mu}{z^3}$

磁性材料

磁性材料可以看作无数个磁偶极子组成的集合，他们相互作用，并对外界磁场产生响应，从而表现出不同的性质。

根据原子的磁偶极矩和原子间的相互作用，材料的磁性可以分为顺磁性、抗磁性和铁磁性等。

Paramagnetism

顺磁性材料在外磁场作用下，磁矩会与磁场对齐，从而增加材料的磁场。

我们定义磁化强度 $\vec{M}$ 为单位体积内的磁矩

Diamagnetism

顺磁材料总是被磁铁吸引，而抗磁材料在强磁场下会被磁铁排斥。

Ferromagnetism

铁磁性材料的特点是相邻原子间有很强的相互作用。 $$ U=-J\,\Sigma\vec{\mu_i}\cdot\vec{\mu_j}-\Sigma\vec{\mu_i}\cdot\vec{B} $$ 当 $J>0$ 时，原子间的相互作用使得当外磁场消失时，磁矩仍保持对齐，从而产生铁磁性。