Lecture12

lecture 12: Inductors and Inductance

自感

定义螺线管的自感为： $$ L=N\Phi_B/i $$ 于是，自感就是对单位电流产生的磁链（\(N\Phi_B\)）的量度。单位为 \(\textrm{H}\)（亨利）。则 $$ L=\frac{(nl)(\mu_0inA)}{i}=\mu_0n^2lA $$ 那么单位长度上的自感就等于 $$ \frac{L}{l}=\mu_0n^2A $$ 所以自感只取决于线圈的几何结构，而与电流无关。设螺线管的长度 \(l\) 远远大于半径，这个螺线管的自感就可以近似为（忽略了边缘效应） $$ L=\mu_0n^2lA=N^2(\mu_0A/l) $$

当电流变化时，线圈会产生自感电动势 $$ \varepsilon_L=-L\frac{di}{dt} $$

磁场的能量

对于 LR 电路，写出电动势的表达式 $$ \varepsilon=L\frac{di}{dt}+Ri $$ 两边乘上 \(i\)，得到 $$ \varepsilon i=Li\frac{di}{dt}+i^2R $$ 这个关系式可以看成能量守恒方程，即电动势做功的速率，等于磁场能增加的速率，加上电阻发热的速率。于是我们找到了包含磁场能量的方程： $$ \frac{dU_B}{dt}=Li\frac{di}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}Li^2\right) $$ $$ U_B=\frac{1}{2}Li^2 $$

磁场的能量密度

根据对称性，螺线管内的磁场能一定均匀分布在 \(Ah\) 体积内。 则单位体积内的磁场能的表达式为 $$ u_B=\frac{U_B}{Ah}=\frac{Li^2}{2Ah} $$ 而 \(\frac{L}{h}\) 就是单位长度的自感，即 \(\mu_0n^2A\)，于是 $$ u_B=\frac{1}{2}\mu_0n^2i^2=\frac{B^2}{2\mu_0} $$

互感

设两个线圈，线圈 1 产生磁场 \(B_1\)，设线圈 2 上由于 \(B_1\) 产生的磁通量为 \(\Phi_{21}\)，则 $$ M_{21}=\frac{N_2\Phi_{21}}{i_1} $$