Lecture20

lecture 20: Polarization

我们用电场强度向量来表示电磁波的朝向，可以先固定 z，将电场方向分解为 x，y 两个方向来表示： $$ \begin{align} \vec{E}x(z, t) = \hat{i}E\cos(kz - \omega t)\\ \vec{E}y(z, t) = \hat{j}E\cos(kz - \omega t + \epsilon) \end{align} $$

Linear polarization

当 \(\epsilon=0\)，即两个向量相位相同时，相当于线性叠加。 $$ \vec{E} = \vec{E}_x + \vec{E}_y $$

Circular polarization

当 \(\epsilon=-\pi/2\) 时，可以写作 $$ \vec{E}=E_0\left(\hat{i}\cos(kz-\omega t)+\hat{j}\sin(kz-\omega t)\right) $$ 将 x 和 y 坐标的值分别看作在单位圆上旋转的点的投影，发现 \(\vec{E}\) 的方向以 角速度 \(\omega\) 旋转，时间上每个周期、空间上每个波长旋转 \(2\pi\)。
对于观察者来说，看到的电场的旋转方向应当看作是空间中一个定点上，电场随时间变化的方向，所以对该例来说，观察者看到的是顺时针旋转，为右旋光。

同理，当 \(\epsilon=\pi/2\) 时，\(\sin\) 前多了个负号，观察者看到的是逆时针旋转，为左旋光。

对着光传播的方向观察，合成电矢量是顺时针方向旋转时，偏振是右旋的，反之是左旋的。

将相位、振幅相同的左右旋光叠加，就是线性光。

Jones Vector

将电矢量写成列向量： $$ \vec{E} = \begin{bmatrix}E_x(t)\\E_y(t)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}E_{0x}\,e^{i(kz-\omega t+\phi_x)}\\E_{0y}\,e^{i(kz-\omega t+\phi_y)}\end{bmatrix} $$ 我们可以把相位随时间和空间的变化分离出来简化计算，即 $$ \vec{E} = \begin{bmatrix}E_{0x}\,e^{i\phi_x}\\E_{0y}\,e^{i\phi_y}\end{bmatrix}e^{i(kz-\omega t)} $$ 我们重点关注这个列向量。之前我们都在实空间 \(\mathbb{R}^2\) 上讨论，现在我们将使用在复数域 \(\mathbb{C}\) 上扩张成的向量空间。

对于这个二维向量，取他的两个基： $$ |H\rangle=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\quad |V\rangle=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} $$ 它们分别对应水平线性偏振光和垂直线性偏振光。

那么在复数域上，就可以由这两个基扩张成一个二维的复向量空间，但是其中一个分量是复数是什么意思呢？

设 $$ |X\rangle=\begin{pmatrix} i\\0 \end{pmatrix} $$ 这时候，使用复数的指数形式，我们发现 $$ |X\rangle = \begin{pmatrix} i\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{i(\pi/2)}\\0 \end{pmatrix} $$ 刚好相当于把 \(E_x\) 的相位延迟了 \(\pi/2\) ！
因此，Jones vector 可以表示任意振幅、任意相位叠加形成的偏振光。比如：

另外，这还是一个内积空间，这里我们采用欧几里得内积（死去的线代还在追我），即 $$ \langle A|B\rangle = \sum_{i=1}^n A_i\overline{B_i} $$ 其中 \(\overline{B_i}\) 是 \(B_i\) 的共轭。那么很容易发现， $$ \langle H|V\rangle=\langle D|A\rangle=\langle R|L\rangle=0 $$ 即他们都是正交的。