Lecture22

lecture 22: Matter Waves

双缝干涉实验

如果把光看作光子，怎么确定屏上的光强呢？

我们可以统计光子落在某个小区域内的概率，以此来替代光强。那么光子落在某点的概率密度与光强成正比，也就与电场的平方成正比。

当光强足够弱，光子一个一个地到达，我们仍然能观察到双缝干涉现象。这很神奇，因为光子一旦穿过一个缝，它就不可能“感知”到另一个缝的存在，也就不可能发生干涉。因此，我们只能认为光子以某种波的形式进行传播，这种波充满了整个空间，我们叫他概率波。

De Broglie Wave

任何物质都具有波粒二象性 $$ \lambda=\frac{h}{p} $$ 称为粒子的德布罗意波长。

电子、中子这些粒子也是波，他们也会产生干涉条纹。

波函数

在解释光的干涉现象时，我们利用了电磁波的振幅 \(E_m\)，而不仅仅是光强 \(I=|E_m|^2\)。

类似的，为了对粒子的运动进行描述，我们引入波函数，以及概率振幅 \(\psi\)，它是一个复数，这是为了将波的性质和粒子的性质结合起来。

那么概率就等于振幅的模的平方，\(P=|\psi|^2=\psi^*\psi\)。

当一个事件可以以多种方式发生时，概率振幅就是所有可能方式的概率振幅之和，\(\psi=\psi_1+\psi_2+\ldots\)

那么该事件发生的概率就等于 $$ P=|\psi|^2=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+2\Re(\psi_1^*\psi_2)+\ldots $$

离谱的是，当我们观察每一个电子，确定每次它通过哪一个缝之后，干涉条纹居然消失了。

这是因为，为了“看到”双缝中的电子，我们必须使用 \(\lambda \lt d\) 的光去探测它，而光本身是由 \(p>h/d\) 的光子组成的，所以我们在测量过程中已经不确定地改变了电子的动量，从而破坏了双缝干涉。

但这也是海森堡不确定性原理的体现，即你不能同时精确地测量粒子的位置和动量。

Heisenberg’s Uncertainty Principle

$$ \begin{align} \Delta x\cdot\Delta p_x \geq \hbar\\ \Delta y\cdot\Delta p_y \geq \hbar\\ \Delta z\cdot\Delta p_z \geq \hbar\\ \end{align} $$ 其中 \(\Delta x\)，\(\Delta p_x\) 可以看作是测量的标准差

用波函数，我们这样表示一个粒子（一维）： $$ \psi(x,t)=e^{i(kx-\omega t)} $$ - 假设我们测准了动量 \(p_x=\hbar k\)，但此时电子出现在任意位置的概率都相等，\(\Delta x=\infty\) - 假设我们测准了位置 \(x\)，那么电子的波函数就坍缩为 \(\psi(x,t)=\delta(x-x_0)\)，\(\delta\) 函数的傅里叶变换告诉我们，这个函数是由无数不同的 k 的 \(e^{i(kx-\omega t)}\) 积分得到的，因此 \(\Delta p_x=\infty\)