Lecture24
lecture 24: Quantum Wells
本章的要点是通过与驻波进行类比，探究在某些限制条件存在的情况下薛定谔方程的解。
无限深势阱
类似于驻波在两端振幅为 0 的限制条件，在无限深势阱中，我们可以解出电子位于某处的概率为：
$$
p_n(x)=\left|\psi(x)\right|^2=|A|^2\sin^2\left(\frac{n\pi}{L}x\right)
$$
其中常数 \(A\) 可以通过归一化条件确定：
$$
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_n(x)|^2dx=\int_0^L|\psi_n(x)|^2dx=1
$$
通过简单的积分可以得到
$$
A=\sqrt{\frac{2}{L}}
$$
能级
不考虑相对论效应，我们也可以算出不同 n 对应的电子的能量。
由于势能为 0，所以电子的能量就等于动能： $$ \begin{align} E_n&=K=\frac{p^2}{2m}\\ &=\left(\frac{h^2}{8mL^2}\right)n^2 \end{align} $$ \(n=1\) 时能量最低，称为基态。也就是说，任何受约束的量子体系，其最低能量总是存在的，称为零点能量。
电子吸收或发射光子，就会发生能级跃迁，这个变化是离散的。
但是单一的解并不满足 \(\psi_n(0)=\psi_n(L)=0\) 的限制条件： $$ \psi_n(x)=e^{i\frac{n\pi}{L}x} or \psi_n(x)=e^{-i\frac{n\pi}{L}x} $$ 我们仍然需要将各种情况线性组合来得到最终的解。而且当 \(n\) 充分大时，概率几乎均匀分布，即当量子数足够大时，量子力学的解就与经典力学非常相似。
有限深势阱
对于有限深势阱，波函数可能穿透势壁，驻波的形式不再适用。
仅作定性分析
因此有限深势阱的解的波长要大一些，因此能量就要低一些。
而那些本身能量就比势壁高的电子来说，它们并不受势阱约束，因而可以具有连续的能量。
高维薛定谔方程
把薛定谔方程推广到二维： $$ E\Psi(x, y)=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)\Psi(x, y) $$ 对于满足 \(\Psi(x,y)=X(x)Y(y)\) 的波函数，薛定谔方程等价于 $$ E=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{X(x)}\frac{\partial^2X(x)}{\partial x^2}-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{Y(y)}\frac{\partial^2Y(y)}{\partial y^2} $$ 它有着 \(E=F(x)+G(y)\) 的形式，而且二者必须都为常数。这样就可以分解为两个常微分方程。
一般来说，当 $$ U(x,y)=U_x(x)+U_y(y) $$ 或者极坐标系中 $$ U(r,\theta,\phi)=V(r) $$ 时可以这样搞。